Derivadas: Ejercicio 1

La derivada mide cómo cambia una función con respecto a su variable. Revela pendientes de tangentes, extremos (máximos y mínimos) y puntos de inflexión. A continuación, un repaso conciso y tres ejercicios resueltos paso a paso usando la regla de la potencia.

Conceptos básicos

La derivada de f(x) en x se define como el límite de la tasa media de cambio cuando h tiende a 0:

f'(x) = lim_{h->0} ( f(x + h) - f(x) ) / h

Esta definición sustenta todas las reglas de derivación.

Reglas de derivación

• Derivada de una constante: d/dx(c) = 0
• Regla de la potencia: d/dx(x^n) = n*x^(n-1)
• Factor constante: d/dx(kx^n) = kn*x^(n-1)
• Suma y diferencia: derivar término a término
• Regla del producto: d/dx( f(x)*g(x) ) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
• Regla del cociente: d/dx( f(x)/g(x) ) = ( f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x) ) / ( g(x) )^2
• Regla de la cadena: d/dx( f(g(x)) ) = f'(g(x))*g'(x)

Ejemplos

Ejemplo 1
f(x) = x^-3. Con n = -3:
f'(x) = -3x^(-3-1) = -3x^-4
(Opcional) f'(x) = -3/(x^4), con x != 0.

Ejemplo 2
f(x) = 3x^8 + x^-2. Derivar por términos:
d/dx(3x^8) = 38x^(8-1) = 24x^7
d/dx(x^-2) = -2x^(-2-1) = -2x^-3
Combinando: f'(x) = 24x^7 - 2x^-3
(Opcional) f'(x) = 24x^7 - 2/(x^3), x != 0.

Ejemplo 3
f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 6x + 8.
d/dx(3x^4) = 12x^3
d/dx(-5x^3) = -15x^2
d/dx(2x^2) = 4x
d/dx(6x) = 6
d/dx(8) = 0
Resultado: f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x + 6

Usos de las derivadas

Sirven para tasas instantáneas de cambio, optimización, concavidad y puntos de inflexión, además de sustentar integrales y ecuaciones diferenciales.

Conclusión

La maestría llega con la práctica. Baja el exponente, réstale 1, cuida los signos y recuerda: d/dx(x) = 1 y d/dx(constante) = 0.