Asíntotas de una Función Racional

Definición de Función Racional

Una función racional es una función matemática que se puede expresar como el cociente de dos polinomios. Esto significa que una función racional tiene la forma f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, y Q(x) no debe ser el polinomio nulo (Q(x) ≠ 0).

El Concepto de Asíntota

Una asíntota de una función racional es una línea recta que describe el comportamiento de la gráfica de la función a medida que x o f(x) se aproximan a ciertos valores, pero nunca los alcanzan realmente. Hay tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

• ASÍNTOTAS VERTICALES: ocurren cuando la función se aproxima al infinito o menos infinito a medida que x se acerca a un cierto valor. Esto sucede cuando el denominador Q(x) es igual a 0, pero el numerador P(x) no es igual a 0 en el mismo valor de x (después de haber cancelado cualquier factor común).
• ASÍNTOTAS HORIZONTALES: describen el comportamiento de la gráfica de la función a medida que x se aproxima al infinito o menos infinito. Una asíntota horizontal ocurre cuando el valor de la función se acerca a una cierta constante.
• ASÍNTOTAS OBLICUAS: son asíntotas que no son ni verticales ni horizontales. Ocurren cuando el grado del numerador P(x) es exactamente uno mayor que el grado del denominador Q(x).

¿Cómo Encontrar las Asíntotas de una Función Racional?

• ASÍNTOTAS VERTICALES: Resuelve la ecuación Q(x) = 0. Cada solución 'c' para la cual P(c) ≠ 0 (después de simplificar la fracción P(x)/Q(x) cancelando factores comunes) será la ubicación de una asíntota vertical, x = c.
• ASÍNTOTAS HORIZONTALES:
• • Si el grado del numerador P(x) es menor que el grado del denominador Q(x), entonces y = 0 es la asíntota horizontal.
  • Si los grados son iguales, la asíntota horizontal es y = (coeficiente principal de P(x)) / (coeficiente principal de Q(x)).
  • Si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), no hay asíntota horizontal.
• ASÍNTOTAS OBLICUAS: Si el grado del numerador P(x) es exactamente uno mayor que el grado del denominador Q(x), realiza una división larga de polinomios para dividir P(x) entre Q(x). El cociente (que será una ecuación lineal de la forma y = mx + b) representa la asíntota oblicua. El término del resto debe aproximarse a cero a medida que x se aproxima a ±∞.

Ejemplo

Para la función f(x) = (2x² + 3x – 5) / (x – 1), encontremos las asíntotas.

• ASÍNTOTA VERTICAL: Establecemos el denominador x – 1 = 0, lo que da x = 1. Ahora, comprobamos el valor del numerador P(x) = 2x² + 3x – 5 en x = 1: P(1) = 2(1)² + 3(1) – 5 = 2 + 3 – 5 = 0. Como tanto el numerador como el denominador son 0 en x = 1, debemos factorizar el numerador: 2x² + 3x – 5 = (x – 1)(2x + 5). Entonces, f(x) = [(x – 1)(2x + 5)] / (x – 1). Para x ≠ 1, f(x) = 2x + 5. Debido a que el factor (x-1) se cancela, no hay una asíntota vertical en x = 1. En su lugar, hay un agujero en la gráfica en x = 1. La coordenada y del agujero es 2(1) + 5 = 7.
• ASÍNTOTA HORIZONTAL: El grado del numerador (2) es mayor que el grado del denominador (1). Por lo tanto, no hay asíntota horizontal.
• ASÍNTOTA OBLICUA: Dado que el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador, podríamos realizar una división de polinomios. La división de (2x² + 3x – 5) entre (x – 1) da un cociente de 2x + 5 y un resto de 0. Entonces, f(x) = 2x + 5, para x ≠ 1. En este caso particular, debido a que el resto es cero, la función misma se simplifica a la línea y = 2x + 5 (con un agujero en x=1). Esta línea es la gráfica de la función, en lugar de una línea a la que la función se aproxima asintóticamente. (Para una asíntota oblicua típica, la división de polinomios resultaría en un cociente lineal mx+b y un resto no nulo R(x), de modo que f(x) = mx + b + R(x)/Q(x), donde R(x)/Q(x) se aproxima a 0 a medida que x se aproxima a ±∞. Entonces, y = mx + b sería la asíntota oblicua.)