Gráfica de una Función Racional

Introducción y la Importancia de la Representación Gráfica

Una función racional se da en la forma: f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, y Q(x) ≠ 0. Su gráfica no es una curva continua como la de los polinomios, sino que contiene rupturas características, asíntotas, agujeros y otros puntos especiales. El propósito de la gráfica es mostrar el comportamiento de la función alrededor de sus ceros y los puntos donde no está definida.

Pasos para Graficar una Función Racional

1. DETERMINAR EL DOMINIO (Df) El dominio Df incluye todos los números reales excepto aquellos donde Q(x) = 0. Estos puntos se excluyen porque la división por cero no está permitida.
2. • Ejemplo: f(x) = (x² – 1) / (x – 2) → Q(x) = x – 2 → Df = ℝ \ {2} (todos los números reales excepto 2).
2. SIMPLIFICAR LA FUNCIÓN (SI ES POSIBLE) A veces, el numerador y el denominador se pueden factorizar y los factores comunes se pueden cancelar. Recuerda que los puntos correspondientes a los factores cancelados del denominador todavía representan agujeros y no están en el dominio.
3. • Ejemplo: f(x) = (x² – 1) / (x – 2) = [(x – 1)(x + 1)] / (x – 2). (No hay factores comunes para cancelar aquí).
3. DETERMINAR LOS CEROS (INTERSECCIONES CON EL EJE X) Los ceros son las soluciones de la ecuación P(x) = 0, siempre que Q(x) ≠ 0 en estos puntos. Estos puntos corresponden a las intersecciones con el eje x.
4. • En el ejemplo anterior: P(x) = (x – 1)(x + 1) → Ceros: x = –1, x = 1.
4. DETERMINAR LA INTERSECCIÓN CON EL EJE Y Sustituye x = 0, si 0 ∈ Df:
5. • Ejemplo: f(0) = (0² – 1) / (0 – 2) = –1 / (–2) = 0.5. La intersección con el eje y es (0, 0.5).
5. ENCONTRAR ASÍNTOTAS VERTICALES Estas ocurren en los valores de x donde Q(x) = 0 después de la simplificación (es decir, el factor en el denominador no se canceló con uno en el numerador), y P(x) ≠ 0 en estos valores de x. En estos puntos, la función tiende hacia ±∞, y la gráfica se acerca a una línea vertical.
6. • Ejemplo: Para f(x) = (x² – 1)/(x – 2), Q(x) = x – 2 → Asíntota vertical en x = 2.
6. ENCONTRAR ASÍNTOTAS HORIZONTALES U OBLICUAS Estas se determinan comparando los grados del numerador P(x) y el denominador Q(x):
7. • Si grad P < grad Q → Asíntota horizontal y = 0.
   • Si grad P = grad Q → Asíntota horizontal y = aₙ/bₙ (razón de los coeficientes principales).
   • Si grad P > grad Q:
   • • Si grad P = grad Q + 1 → Asíntota oblicua, que se encuentra mediante la división larga de polinomios.
     • Si grad P > grad Q + 1 → No hay asíntota horizontal ni oblicua (el comportamiento es similar al de un polinomio).
   • Ejemplo: f(x) = (2x² + 1) / (x² – 3) → grad P = grad Q = 2. Asíntota horizontal: y = 2/1 = 2.
7. IDENTIFICAR AGUJEROS EN LA GRÁFICA (DISCONTINUIDADES EVITABLES) Si un factor (x – c) aparece tanto en el numerador como en el denominador y se puede cancelar, entonces hay un agujero en la gráfica en x = c. La función no está definida en x=c, pero la gráfica se acerca al punto que existiría si la función estuviera definida allí.
8. • Ejemplo: f(x) = [(x – 1)(x + 2)] / (x – 1). Esto se simplifica a f(x) = x + 2, para x ≠ 1. → La gráfica es una línea recta con un agujero en x = 1. Para encontrar la coordenada y del agujero, sustituye x=1 en la expresión simplificada: y = 1 + 2 = 3. Agujero en (1, 3).
8. ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO ALREDEDOR DE LAS ASÍNTOTAS Y PUNTOS CLAVE A la izquierda y a la derecha de una asíntota vertical, la función a menudo tiende hacia +∞ o -∞. Prueba puntos para determinar la dirección. Para valores grandes de |x|, la gráfica de la función se "pega" o se acerca a la asíntota horizontal u oblicua. El signo de la función se puede determinar en los intervalos entre los ceros y las asíntotas verticales.

Ejemplo de un Análisis Completo

f(x) = (x² – 4) / (x – 1)

• Simplificar: f(x) = [(x – 2)(x + 2)] / (x – 1) (No hay factores comunes).
• Dominio (Df): ℝ \ {1}.
• Ceros: P(x) = (x – 2)(x + 2) = 0 → x = –2, x = 2.
• Intersección con el eje Y: f(0) = (0² – 4) / (0 – 1) = –4 / –1 = 4. Punto (0, 4).
• Asíntota Vertical: Q(x) = x – 1 = 0 → x = 1.
• Asíntota Horizontal/Oblicua: El grado de P(x) es 2, el grado de Q(x) es 1. Como grad P = grad Q + 1, hay una asíntota oblicua. Realiza la división larga de polinomios de (x² – 4) entre (x – 1). El cociente es x + 1 y el resto es -3. Entonces, f(x) = x + 1 - 3/(x – 1). La asíntota oblicua es y = x + 1.

Conclusión

La gráfica de una función racional contiene información importante sobre los ceros, las asíntotas, los puntos de ruptura (discontinuidades) y el comportamiento de la función para valores grandes de |x|. Un análisis cuidadoso del numerador y el denominador permite una comprensión gráfica completa de la función. Se debe prestar especial atención a las asíntotas y los agujeros, ya que estos determinan las principales características del curso de la gráfica.