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"Para la próxima generación."
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En matemáticas, una sucesión es una función que asigna números reales a los elementos del conjunto de los números naturales. Las sucesiones se pueden analizar en función de su comportamiento a medida que aumenta el número de términos, lo que conduce a los conceptos de sucesiones acotadas y no acotadas.
Una sucesión es acotada si existen dos números reales tales que todos los términos de la sucesión se encuentran entre estos dos números. Esto significa que la sucesión nunca excede un cierto valor hacia arriba o hacia abajo. Una sucesión acotada está acotada tanto por arriba como por abajo, lo que significa que tiene una cota superior y una cota inferior. Ejemplos de sucesiones acotadas incluyen sucesiones que convergen a un límite específico o sucesiones que oscilan entre ciertos valores (p. ej., a_n = (-1)^n está acotada entre -1 y 1).
Una sucesión es no acotada si para cada número real, existe un término de la sucesión que es mayor (o menor) que este número. En otras palabras, los valores de los términos de la sucesión pueden volverse arbitrariamente grandes (o pequeños, es decir, grandes en magnitud pero negativos). Las sucesiones no acotadas no tienen una cota superior o inferior en el sentido habitual (p. ej., una sucesión no acotada podría estar acotada por arriba pero no por abajo, o viceversa, o ninguna de las dos). Ejemplos de sucesiones no acotadas incluyen sucesiones donde los términos crecen continuamente, como la sucesión de números naturales (1, 2, 3, ...), que no está acotada por arriba pero sí por abajo. Una sucesión como a_n = n² no está acotada por arriba. Una sucesión como a_n = -n no está acotada por abajo.
Distinguir entre sucesiones acotadas y no acotadas es de fundamental importancia en el análisis, ya que permite comprender las propiedades de las sucesiones y las series. Esta comprensión es crucial al estudiar la convergencia, la divergencia y al encontrar los límites de las sucesiones. También es importante al aplicar sucesiones en problemas prácticos donde es necesario determinar el comportamiento a largo plazo de la sucesión.
La acotación o no acotación de una sucesión proporciona información sobre sus propiedades fundamentales y es clave en el análisis matemático y sus aplicaciones. Comprender cómo reconocer sucesiones acotadas y no acotadas permite una comprensión más profunda de los conceptos matemáticos y es una herramienta indispensable en el arsenal de todo estudiante.
