Introducción a las Sucesiones

Definición y Concepto Básico

Una sucesión es una lista ordenada de números donde cada elemento está determinado por un lugar o posición específica. Usualmente denotamos las sucesiones con el símbolo aₙ, donde n ∈ ℕ (números naturales) representa el número secuencial (índice), y aₙ es el n-ésimo término de la sucesión. Una sucesión puede definirse de dos maneras:

• Con una fórmula explícita, donde cada término se expresa directamente como una función de n.
• Recursivamente, donde se definen el primer (o los primeros) términos, junto con una regla para calcular el siguiente término a partir del (de los) término(s) precedente(s).
• Ejemplo de una sucesión definida por una fórmula explícita: aₙ = n² da la sucesión (1, 4, 9, 16, 25, …)

Tipos de Sucesiones

• SUCESIÓN ARITMÉTICA: Cada término subsiguiente difiere del anterior por el mismo número constante 'd' (diferencia común): aₙ = a₁ + (n – 1) * d
• • Ejemplo: 3, 7, 11, 15, … (donde d = 4)
• SUCESIÓN GEOMÉTRICA: Cada término subsiguiente se obtiene multiplicando el término anterior por el mismo número constante 'q' (razón común): aₙ = a₁ * q^(n–1)
• • Ejemplo: 2, 4, 8, 16, … (donde q = 2)
• SUCESIÓN CONSTANTE: Todos los términos son iguales: aₙ = c (donde c es una constante)
• SUCESIÓN ALTERNANTE: Los valores de los términos alternan en un patrón prescrito, a menudo en el signo.
• • Ejemplo: aₙ = (–1)ⁿ da la sucesión (–1, 1, –1, 1, …)

Formas de Definir Sucesiones

• EXPLÍCITAMENTE: Proporcionamos una fórmula para el término general aₙ como una función de n.
• • Ejemplo: aₙ = 3n – 1
• RECURSIVAMENTE: Definimos el término inicial (o varios términos iniciales) y una regla sobre cómo obtener el siguiente término.
• • Ejemplo: a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ + 5

Crecimiento, Decrecimiento y Acotación

Una sucesión es:

• CRECIENTE si aₙ < aₙ₊₁ para todo n.
• DECRECIENTE si aₙ > aₙ₊₁ para todo n.
• ACOTADA si existen números reales m y M tales que: m ≤ aₙ ≤ M para todo n.
• Ejemplo de una sucesión creciente: aₙ = n
• Ejemplo de una sucesión acotada: aₙ = 1/n (acotada entre 0 (exclusivo para n>0) y 1 (inclusivo))

Conclusión

Las sucesiones representan un concepto fundamental en el análisis matemático y la matemática discreta. Permiten una notación estructurada de series numéricas, el estudio de sus propiedades y comportamiento, y la preparación para conceptos posteriores como las series, los límites de sucesiones y el análisis funcional. Comprender las diferentes formas de sucesiones y las maneras de definirlas es clave para el trabajo posterior en muchos campos matemáticos.