Gráfica de un Polinomio

Explicación de la Gráfica de un Polinomio

Un polinomio es una expresión matemática compuesta por varios términos, donde cada término incluye una constante, llamada coeficiente, y una variable elevada a una potencia entera no negativa. La forma general de un polinomio de grado 'n' en una variable 'x' es: p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x + a₀ donde aₙ es el coeficiente principal y a₀ es el término constante.

Propiedades de la Gráfica de un Polinomio

• CEROS DEL POLINOMIO (INTERSECCIONES CON EL EJE X): Puntos donde la gráfica del polinomio intersecta el eje x. Corresponden a las soluciones de la ecuación p(x) = 0.
• COMPORTAMIENTO FINAL (HACIA EL INFINITO): Depende del grado del polinomio y del signo del coeficiente principal. Para potencias más altas y un coeficiente principal positivo, la curva generalmente sube hacia el infinito en el lado derecho (y su comportamiento en el lado izquierdo depende de si el grado es par o impar).
• EXTREMOS (MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES): Puntos donde la gráfica alcanza un mínimo o máximo local. Se determinan utilizando la primera y segunda derivada de la función.
• SIMETRÍA: Algunos polinomios, como las funciones pares o impares, exhiben simetría con respecto al eje y o al origen.
• • Una función par (p(-x) = p(x)) es simétrica con respecto al eje y.
  • Una función impar (p(-x) = -p(x)) es simétrica con respecto al origen.

Dibujo de la Gráfica de un Polinomio

El dibujo de la gráfica de un polinomio requiere el conocimiento de sus propiedades clave. El proceso incluye:

1. ENCONTRAR LOS CEROS: Resuelve la ecuación p(x) = 0 para x.
2. DETERMINAR EL COMPORTAMIENTO FINAL: Comprueba cómo se comporta la gráfica para valores muy grandes positivos o muy grandes negativos de x (cuando x → ∞ y x → -∞).
3. CALCULAR LOS EXTREMOS: Usa las derivadas para encontrar los puntos donde la línea tangente es horizontal (f'(x) = 0).
4. COMPROBAR LA SIMETRÍA: Determina si la gráfica exhibe simetría par o impar.
5. DIBUJAR LA GRÁFICA: Utiliza la información obtenida (ceros, comportamiento final, extremos, intersección con el eje y (p(0)), y cualquier otro punto calculado) para esbozar la gráfica.