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"Para la próxima generación."
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En matemáticas, el concepto de diferencia (o razón) entre términos y el cálculo del término general son cruciales para comprender las sucesiones y series, especialmente en el contexto de las sucesiones aritméticas y geométricas. La diferencia (o razón) entre los términos de una sucesión permite determinar el patrón de crecimiento o decrecimiento de la misma, lo cual es fundamental para calcular el término general de la sucesión.
En una sucesión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos es constante y se llama diferencia común (d). Si a_n es el n-ésimo término de la sucesión, entonces a_n = a_(n-1) + d. El término general (o n-ésimo término) de una sucesión aritmética se puede calcular usando la fórmula: a_n = a_1 + (n – 1)d donde a_1 es el primer término de la sucesión.
En una sucesión geométrica, la razón entre términos consecutivos es constante y se llama razón común (r). Para una sucesión geométrica, a_(n+1) / a_n = r. El término general de una sucesión geométrica se calcula usando la fórmula: a_n = a_1 * r^(n–1) donde a_1 representa el primer término de la sucesión.
Supongamos que tenemos dos términos de una sucesión aritmética: a_3 = 9 y a_5 = 13. Para calcular la diferencia común 'd' y el primer término a_1, usamos los pasos descritos. Primero, calculamos la diferencia común 'd': Dado que a_5 = a_3 + (5-3)d, 13 = 9 + 2d 13 - 9 = 2d 4 = 2d d = 4 / 2 = 2. Alternativamente, usando la fórmula que calcula la diferencia promedio sobre el número de pasos: d = (a_5 – a_3) / (5 – 3) = (13 – 9) / 2 = 4 / 2 = 2. Una vez que conocemos la diferencia, podemos calcular el primer término a_1 considerando uno de los términos conocidos, por ejemplo, a_3. Usamos la fórmula para el n-ésimo término: a_n = a_1 + (n – 1)d Para a_3: a_3 = a_1 + (3 – 1)d Sustituye a_3 = 9 y d = 2 y resuelve para a_1: 9 = a_1 + (2) * 2 9 = a_1 + 4 a_1 = 9 – 4 a_1 = 5 Entonces, el primer término a_1 de la sucesión es 5, y ya hemos calculado que la diferencia común d es 2. Este ejemplo ilustra cómo, con información mínima, podemos determinar las características clave de una sucesión aritmética.
La diferencia/razón común y el cálculo del término general son conceptos básicos en matemáticas que proporcionan herramientas para analizar y comprender las sucesiones. Su uso se extiende más allá de los límites de las matemáticas, permitiendo la exploración, el modelado y la resolución de problemas en muchas ramas científicas.
