Operaciones con polinomios

Introduccion a los polinomios como estructura matematica

El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales forma una estructura algebraica importante que permite realizar operaciones basicas. Cualquier polinomio se puede escribir como:

P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + an*x^n,

donde ai ∈ R y n ∈ N0. Estas expresiones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir entre si. El resultado de cada una de estas operaciones (excepto la division con resto) es de nuevo un polinomio.

Suma y resta de polinomios

Los polinomios se suman o se restan termino a termino, es decir, combinamos los coeficientes de las mismas potencias de la variable.

Ejemplo:
P(x) = 2x^2 + 3x - 1
Q(x) = x^2 - 5*x + 4

P(x) + Q(x) = (2x^2 + x^2) + (3x - 5x) + (-1 + 4) = 3x^2 - 2*x + 3

La resta funciona igual, teniendo en cuenta el cambio de signo.

Multiplicacion de polinomios

La multiplicacion sigue la ley distributiva: cada termino del primer polinomio se multiplica por cada termino del segundo y luego se simplifica.

Ejemplo:
P(x) = x + 2
Q(x) = x - 3

P(x)Q(x) = xx + x*(-3) + 2x + 2(-3) = x^2 - x - 6

En el conjunto de los polinomios con coeficientes reales, el resultado siempre es otro polinomio.

Division de polinomios

Dividir un polinomio entre otro (de igual o menor grado) funciona de forma parecida a la division escrita de numeros, usando el proceso de division de polinomios con resto.

Ejemplo:
Dividir P(x) = x^3 + 2*x^2 - x - 2 entre D(x) = x - 1

Del procedimiento obtenemos:

P(x) = (x - 1)(x^2 + 3x + 2) + 0
Resultado: el cociente es x^2 + 3*x + 2 y el resto es 0.

Si el resto no es 0, se puede escribir como:
P(x)/D(x) = cociente + (resto / D(x))

Elemento neutro y conmutatividad

Para los polinomios se cumple:

• La suma y la multiplicacion son operaciones conmutativas y asociativas.
• Existe un elemento neutro para la suma (el polinomio cero) y un elemento neutro para la multiplicacion (el polinomio 1).
• La multiplicacion es distributiva con respecto a la suma.

Conclusion

Las operaciones con polinomios son operaciones algebraicas basicas dentro de una misma estructura matematica. Estas operaciones respetan las propiedades de los sistemas numericos y forman la base para el estudio de ecuaciones, funciones y otras estructuras algebraicas. Cada operacion, desde la suma hasta la division, mantiene la estructura sistematica propia de los polinomios.