Integración por Partes

Introducción a un Método Especial de Integración

La integración por partes (en latín: per partes) es una de las técnicas más importantes para calcular integrales indefinidas. Se basa en la regla del producto para la derivación y permite resolver integrales donde el integrando es un producto de dos expresiones que no son fáciles de integrar de forma independiente.

Fórmula para la Integración por Partes

Sea f(x)g(x) el producto de dos funciones diferenciables. Entonces: ∫f(x)g′(x) dx = f(x)g(x) − ∫f′(x)g(x) dx. En una forma más comúnmente utilizada, la fórmula se escribe típicamente como: ∫u dv = u * v − ∫v du, donde:

• u es la función que derivamos (entonces du = u′ dx),
• dv es la función (o parte del integrando incluyendo dx) que integramos (entonces v = ∫dv). El éxito del método depende de una elección inteligente de 'u' y 'dv', de tal manera que la integral ∫v du se vuelva más simple que la integral original ∫u dv.

Elección de las Funciones U y DV

Para elegir las funciones, a menudo se considera la regla LIATE como una guía (Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales), donde las funciones que están más arriba en la lista son las opciones preferidas para 'u'. Esto se debe a que las derivadas de las funciones logarítmicas e trigonométricas inversas son algebraicas, y las funciones algebraicas se vuelven más simples al derivarlas repetidamente. Las funciones exponenciales y trigonométricas a menudo ciclan cuando se derivan o integran.

Ejemplo: ∫x * e^x dx

Elegimos:

• u = x → du = dx
• dv = e^x dx → v = ∫e^x dx = e^x Aplicamos la fórmula: ∫x * e^x dx = x * e^x − ∫e^x * dx = x * e^x − e^x + C Solución: ∫x * e^x dx = e^x(x − 1) + C.

Ejemplo: ∫ln(x) dx

Aquí usamos una forma especial donde ln(x) se trata como 'u', y 'dv' se toma como 'dx'. Escribimos ∫ln(x) dx como: ∫ln(x) * 1 dx. Elegimos:

• u = ln(x) → du = (1/x) dx
• dv = 1 dx → v = ∫1 dx = x Se sigue que: ∫ln(x) dx = x * ln(x) − ∫x * (1/x) dx = x * ln(x) − ∫1 dx = x * ln(x) − x + C.

Conclusión

La integración por partes es un método clave para resolver integrales de productos de funciones. Con la regla ∫u dv = u*v − ∫v du, transformamos una integral más difícil en una más fácil, donde el éxito del método depende de la correcta elección de las funciones 'u' y 'dv'. Esta técnica se utiliza a menudo varias veces seguidas o en combinación con otros métodos de integración.