© 2025 Astra.si. Todos los derechos reservados.
"Para la próxima generación."
© 2025 Astra.si. Todos los derechos reservados.
"Para la próxima generación."
Al estudiar las funciones y sus gráficas, a menudo nos interesa la orientación de la línea que "toca" la gráfica en un punto específico. Esta línea se llama la tangente. La línea perpendicular a la tangente en el mismo punto se llama la normal. Ambas líneas se definen por su pendiente, que mide la inclinación de la línea con respecto al eje horizontal.
La tangente a la gráfica de una función en un punto determinado es una línea que toca la gráfica en ese punto y tiene la misma pendiente que la función en ese punto. La pendiente de la recta tangente en un punto x₀ es igual al valor de la derivada de la función f en x₀, por lo tanto: k_t = f′(x₀) (donde k_t es la pendiente de la tangente) Esto significa que si tenemos una función f dada y calculamos su derivada, el valor de la derivada en el punto elegido nos da la pendiente de la tangente.
La recta normal es una línea que pasa por el mismo punto que la tangente pero es perpendicular a ella. Si la tangente es creciente, la normal es decreciente, y viceversa. Matemáticamente, la pendiente de la recta normal viene dada por: k_n = -1 / f′(x₀), siempre que f′(x₀) ≠ 0. (donde k_n es la pendiente de la normal) Por lo tanto, la pendiente de la normal solo se define en puntos donde la tangente está definida y su pendiente no es igual a 0. Si f′(x₀) = 0, entonces la recta tangente es horizontal, y la recta normal es vertical (y no tiene una pendiente definida en la forma y=mx+b).
Primero, calculamos la derivada:
f′(x) = 2x.
En x = 1, la derivada es f′(1) = 2(1) = 2.
Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es k_t = 2.
La pendiente de la recta normal es:
k_n = -1 / 2.
El punto en la gráfica es(1, f(1)) = (1, 1²) = (1, 1).
La ecuación de la recta tangente en (1, 1) es:
y – y₁ = k_t(x – x₁)
y – 1 = 2(x – 1) → y = 2x – 2 + 1 → y = 2x – 1.
La ecuación de la recta normal en (1, 1) es:
y – y₁ = k_n(x – x₁)
y – 1 = (-1/2)(x – 1) → y = (-1/2)x + 1/2 + 1 → y = -0.5x + 1.5.
La pendiente de la recta tangente es igual al valor de la derivada de la función en un punto específico. La recta normal, al ser perpendicular a la tangente, tiene una pendiente que es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente, siempre que la pendiente de la tangente exista y no sea cero. Ambas pendientes son clave para describir la geometría local de la gráfica de una función.
