Producto Escalar

Definición Básica

El producto escalar (también conocido como producto punto) es una operación algebraica entre dos vectores que devuelve un número real (un escalar). A diferencia del producto vectorial, que devuelve un nuevo vector, el producto escalar expresa una relación con respecto a la dirección de dos vectores. Se utiliza para calcular la proyección de un vector sobre otro y para determinar la ortogonalidad (perpendicularidad). Para los vectores a = (x₁, y₁, z₁) y b = (x₂, y₂, z₂), el producto escalar se define como: a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂ + z₁·z₂ En un plano (si los componentes z son 0), la fórmula se simplifica a: a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂

Interpretación Geométrica

El producto escalar también se puede expresar utilizando las magnitudes (longitudes) de los vectores y el ángulo entre ellos: a · b = |a| · |b| · cos(φ), donde φ es el ángulo entre los vectores a y b, y 0° ≤ φ ≤ 180° (o 0 ≤ φ ≤ π radianes). De esto se deduce:

• Si a · b > 0, el ángulo entre los vectores es agudo (menor de 90°).
• Si a · b < 0, el ángulo es obtuso (mayor de 90°).
• Si a · b = 0 (y ninguno de los vectores es un vector nulo), los vectores son perpendiculares (ortogonales, el ángulo es de 90°).

Ejemplo

Sean los vectores dados: a = (2, 1, –3) b = (–1, 4, 2) El producto escalar es: a · b = 2·(–1) + 1·4 + (–3)·2 = –2 + 4 – 6 = –4. Como el resultado es negativo, el ángulo entre los vectores es obtuso (mayor de 90°).

Propiedades

• CONMUTATIVIDAD: a · b = b · a
• DISTRIBUTIVIDAD SOBRE LA SUMA DE VECTORES: a · (b + c) = a · b + a · c
• MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR: (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)
• Si al menos un vector es el vector nulo, entonces su producto punto es 0.
• El producto escalar de un vector con un vector unitario devuelve la proyección de ese vector sobre la dirección del vector unitario. Más precisamente, la proyección del vector a sobre el vector b es ((a · b) / |b|²) * b.

Conclusión

El producto escalar es una operación importante en el álgebra vectorial, ya que conecta las representaciones algebraicas y geométricas de los vectores. Permite comprobar la ortogonalidad, calcular ángulos y proyecciones, y sirve de base en muchos contextos geométricos y físicos.