Gráficas de Seno y Coseno

Introducción a las Funciones Periódicas

En matemáticas, a menudo nos encontramos con funciones que se repiten periódicamente. Entre los representantes más importantes de tales funciones se encuentran las funciones seno y coseno. Ambas pertenecen a las funciones trigonométricas, cuya característica principal es la periodicidad, ya que sus valores se repiten en intervalos regulares. Esto significa que existe una constante T para la cual f(x + T) = f(x) para todos los valores de la variable x.

Forma y Propiedades de la Función Seno

La función seno generalmente se escribe como f(x) = sin(x). Su gráfica tiene una forma de onda que comienza en el origen (0, 0), sube a un valor máximo de 1 en x = π/2, vuelve al origen en x = π, luego desciende a un valor mínimo de -1 en x = 3π/2, y completa un período completo en x = 2π. El período de la función es, por lo tanto, 2π. Los valores de la función están acotados entre -1 y 1, lo que significa que su rango es el intervalo [-1, 1].

Forma y Propiedades de la Función Coseno

La función coseno se da como f(x) = cos(x). Su forma es similar a la de la función seno, pero su gráfica comienza en el valor máximo de 1 en x=0, llega a 0 en x = π/2, desciende a -1 en x = π, llega a 0 nuevamente en x = 3π/2, y completa su período en 1 cuando x = 2π. Aquí también, el período es 2π, y los valores también se encuentran en el intervalo [-1, 1]. Esta función es par, lo que significa que cos(-x) = cos(x).

Forma General y Parámetros

Ambas funciones pueden escribirse en una forma más general: f(x) = A * sin(Bx + C) + D o f(x) = A * cos(Bx + C) + D. Los parámetros tienen los siguientes significados:

• A determina la amplitud, es decir, la máxima desviación desde el eje central (si A = 2, entonces la gráfica oscila entre -2 y 2, suponiendo D=0).
• B afecta la periodicidad: el nuevo período se convierte en 2π / |B|.
• C influye en el desplazamiento horizontal (desfase). Una C positiva a menudo indica un desplazamiento hacia la izquierda, pero esto depende de cómo se factorice Bx+C (p. ej., B(x + C/B)).
• D desplaza la gráfica verticalmente hacia arriba o hacia abajo (desplazamiento vertical).

Ejemplo de Cálculo y Gráfica

Tomemos la función f(x) = 2 * sin(x – π/2) + 1. Aquí:

• A = 2 → la amplitud es 2.
• B = 1 → el período sigue siendo 2π.
• El término (x – π/2) indica un desfase. Específicamente, x – π/2 significa que la gráfica se desplaza hacia la derecha en π/2.
• D = 1 → toda la gráfica se desplaza hacia arriba en 1 unidad. La gráfica de esta función, por lo tanto, oscila entre 2*(-1)+1 = -1 y 2*(1)+1 = 3, y tiene la misma forma básica que la función seno pero está desplazada y estirada verticalmente.

Conclusión

Las gráficas discutidas son ejemplos fundamentales de funciones periódicas en matemáticas. Su forma regular, simetría y estructura clara permiten un análisis y una transformación sencillos, lo que posibilita una comprensión más profunda de su comportamiento en diversos contextos.