Función Logarítmica: Propiedades, Gráfica y Ejemplos

Definición y Forma

Una función logarítmica es la función inversa de una función exponencial. Se escribe en la forma: f(x) = log_a(x), donde 'a' es la base del logaritmo, a > 0 y a ≠ 1. La función está definida para x > 0, ya que el logaritmo no está definido para cero ni para números negativos en los números reales. Interpretación matemática: Si f(x) = log_a(x), esto significa que: a^(f(x)) = x, lo que indica que el logaritmo nos dice a qué potencia se debe elevar la base 'a' para obtener el número 'x'.

Dominio y Rango

• DOMINIO (Df): (0, ∞) (números reales positivos)
• RANGO (Zf): ℝ (los valores del logaritmo pueden ser cualquier número real) La función es continua y estrictamente monotónica (creciente o decreciente, dependiendo de la base 'a').

Comportamiento según la Base

• Si a > 1, la función es creciente.
• Si 0 < a < 1, la función es decreciente. En ambos casos, se cumple lo siguiente:
• f(1) = log_a(1) = 0
• lim (cuando x → 0⁺) log_a(x) = –∞
• lim (cuando x → ∞) log_a(x) = ∞ (si a > 1) o = –∞ (si 0 < a < 1)

Propiedades Gráficas

• La función tiene un cero solo en el punto x = 1, donde siempre se cumple que log_a(1) = 0.
• Tiene una asíntota vertical en x = 0, ya que la función logarítmica se acerca a –∞ cuando x se acerca a 0 por la derecha.
• Es la inversa de la función exponencial: si f(x) = log_a(x), entonces f^-1(x) = a^x.

Ejemplos Comunes

• log(x) – logaritmo común (base 10)
• ln(x) – logaritmo natural (base e ≈ 2.718)

Ejemplo de Cálculo

Sea f(x) = log_2(x):

• f(1) = 0
• f(2) = 1
• f(8) = 3
• f(0.5) = –1 La función es creciente; todos los valores de x > 0 tienen un logaritmo correspondiente.

Conclusión

La función logarítmica es un concepto esencial en matemáticas, ya que permite resolver ecuaciones con incógnitas en el exponente y tratar con relaciones inversas entre cantidades. Describe con precisión el crecimiento o decaimiento lento y es la imagen especular de la función exponencial con respecto a la recta y = x. Debido a sus características, es indispensable en ecuaciones logarítmicas, análisis y modelado de procesos matemáticos.