Función Inversa: Qué es, Cómo Encontrarla y Ejemplos

Definición y Significado

Una función inversa es una función que "revierte" la acción de la función original. Si una función 'f' mapea un elemento 'x' a 'y', entonces su función inversa, denotada como f^-1, mapea 'y' de vuelta a 'x'. La condición para que exista una función inversa es que la función original debe ser biyectiva, lo que significa que es tanto inyectiva (diferentes valores de 'x' producen diferentes valores de f(x)) como sobreyectiva (se alcanza cada valor 'y' en el codominio). Matemáticamente, lo escribimos así: Si f(x) = y, entonces f^-1(y) = x. Esto también significa que: f(f^-1(x)) = x y f^-1(f(x)) = x.

Características de una Función Inversa

• El dominio de la función 'f' se convierte en el rango de la función f^-1.
• El rango de la función 'f' se convierte en el dominio de la función f^-1.
• La gráfica de la función f^-1 es una imagen especular de la gráfica de la función 'f' con respecto a la recta y = x.

Procedimiento para Determinar la Función Inversa

1. Escribe f(x) como una ecuación: y = f(x).
2. Intercambia los roles de x e y: x = f(y).
3. Resuelve la ecuación resultante para y: esto se convierte en f^-1(x).
4. Determina el nuevo dominio y rango para f^-1(x).

Ejemplo

Sea la función f(x) = 2x + 3.

• Paso 1: y = 2x + 3
• Paso 2: x = 2y + 3
• Paso 3: x – 3 = 2y → y = (x – 3) / 2
• Por lo tanto: f^-1(x) = (x – 3) / 2

Comprobemos: f(f^-1(x)) = 2 * [(x – 3) / 2] + 3 = x – 3 + 3 = x f^-1(f(x)) = ((2x + 3) – 3) / 2 = 2x / 2 = x

Funciones Inversas para Algunas Funciones Comunes

• f(x) = x³ → f^-1(x) = ³√x (la inversa existe en todos los números reales)
• f(x) = x² → no es invertible en R porque no es inyectiva; se vuelve invertible si el dominio se restringe a [0, ∞)
• f(x) = e^x → f^-1(x) = ln(x)

Conclusión

Una función inversa expresa la reversibilidad de un mapeo matemático. Su definición se basa en intercambiar la dependencia entre la entrada y la salida. Para que exista, la función original debe ser biyectiva. La función inversa juega un papel importante en álgebra, análisis y en la resolución de ecuaciones donde queremos "deshacer" la operación de una función.