Derivadas de Funciones Elementales

Introducción a una Gama más Amplia de Funciones

En el análisis, tratamos con varios tipos de funciones básicas que aparecen al encontrar derivadas. Además de los polinomios, las funciones importantes incluyen las exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus formas inversas. Se les llama funciones elementales porque representan los bloques de construcción de la mayoría de las expresiones más complejas. Cada una de ellas tiene su propia regla para la derivación, basada en las propiedades matemáticas de la función.

Funciones Exponenciales

Para una función de la forma f(x) = a^x, donde 'a' es un número positivo diferente de 1, la derivada se da como: f′(x) = a^x * ln(a). Un caso especial es la función f(x) = e^x, donde e ≈ 2.718 (el número de Euler), para la cual: f′(x) = e^x. Esta función permanece sin cambios tras la derivación.

Funciones Logarítmicas

La función f(x) = log_a(x), donde a > 0 y a ≠ 1, tiene la derivada: f′(x) = 1 / (x * ln(a)). Para el logaritmo natural, es decir, f(x) = ln(x), se aplica una regla simplificada: f′(x) = 1 / x, válida para x > 0. Las funciones logarítmicas no están definidas para valores negativos de x ni para x = 0.

Funciones Trigonométricas

Las derivadas de las funciones trigonométricas básicas son:

• d/dx (sin(x)) = cos(x)
• d/dx (cos(x)) = -sin(x)
• d/dx (tan(x)) = 1 / cos²(x) = sec²(x), para x ≠ (2k + 1)π/2 (donde k es un entero)
• d/dx (cot(x)) = -1 / sin²(x) = -csc²(x), para x ≠ kπ (donde k es un entero) Las funciones tangente y cotangente tienen puntos donde no están definidas, por lo que sus derivadas no existen allí.

Funciones Trigonométricas Inversas

Las funciones trigonométricas inversas tienen las siguientes derivadas:

• d/dx (arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 − x²), para |x| < 1
• d/dx (arccos(x)) = −1 / sqrt(1 − x²), para |x| < 1
• d/dx (arctan(x)) = 1 / (1 + x²), para todo x real Estas funciones se utilizan al resolver problemas que involucran composiciones de funciones o cuando es necesario invertir expresiones trigonométricas.

Conclusión

Diferentes tipos de funciones elementales requieren el conocimiento de sus reglas de derivación específicas. Cada tipo de función tiene su regla prescrita, basada en la estructura de la función y su dominio. Comprender estas reglas es esencial para un tratamiento más complejo de las expresiones en el análisis.